สมการกำลังสอง ตอนที่ 2 : ตัวหน้าไม่ใช่ 1 ทำไง?

ในตอนที่แล้วเรารู้วิธีหาคำตอบของพหุนามโดยการแยกเป็น 2 วงเล็บ แล้วจับแต่ละวงเล็บไปเท่ากับ 0 แล้ว ตอนนี้เราจะทำแบบเดียวกันเลย แต่จะเป็นโจทย์ที่ตัวเลขหน้า x² ไม่ใช่ 1 และอาจจะไม่ใช่ -1 ด้วย  ความยากของหัวข้อนี้ คือ น้องๆ จะต้องฝึกแยกตัวประกอบเป็น 2 วงเล็บของโจทย์แบบนี้ไปพร้อมกับแก้สมการพหุนามกำลังสองไปด้วย  แต่พี่คิดว่าไม่ยากเกินความสามารถของน้องที่อ่านมาถึงตอนนี้นะ สู้ๆ

พหุนามตัวหน้าไม่ใช่ 1 หน้าตาเป็นยังไง?

เอาล่ะคราวนี้มาดูตัวอย่างซิว่าสมการกำลังสอง หรือพหุนามกำลังสองที่ตัวหน้าไม่ใช่ 1 เป็นไง ตัวอย่างแรก

$$3x^2+10x-8 = 0$

จะเห็นว่าหน้า $x^2$ มีตัวเลข $3$ คูณอยู่ ซึ่งไม่ใช่ $1$ แบบนี้แหล่ะที่เราเรียกว่าตัวหน้าไม่ใช่ $1$  คราวนี้ลองมาดูอีกตัวอย่างนะคะ

$$3x^2-13x-10 = 0$$

จะเห็นว่าหน้า $x^2$ มีตัวเลข $3$ คูณอยู่ แบบนี้ก็เรียกว่าตัวหน้าไม่ใช่ $1$ ลองดูตัวอย่างที่ยากขึ้นอีกนิดนะคะ

$$x+2x^2 – 3 = 0$$

ตัวอย่างนี้บางคนอาจบอกว่าก็ตัวหน้าสุดมันเป็น $1$ นี่ ไม่น่าใช่พหุนามแบบที่เราพูดถึงกัน แต่จริงๆ แบบนี้ใช่น้าาา ดูยังไงล่ะ ก็ต้องสลับเอาตัว $x^2$ ไปไว้หน้าสุดก่อน ซึ่งจะได้

$$2x^2+x-3=0$$

คราวนี้เห็นชัดเลยว่าหน้า $x^2$ เป็น $2$ ซึ่งไม่ใช่ $1$

การแยกตัวประกอบพหุนามตัวหน้าไม่ใช่ 1

รู้จักว่าสมการกำลังสองที่หน้าไม่ใช่ $1$ เป็นยังไงไปแล้ว ต่อไปเราลองมาดูวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามตัวหน้าไม่ใช่ $1$ กัน เริ่มต้นที่ $2x^2+x-3=0$ ซึ่งมี

  • ตัวหน้า $=2$
  • ตัวกลาง $=1$
  • ตัวหลัง $=-3$

เราจะเอาเลขหน้าสุดมาแยกเป็นเลขสองตัวคูณกันในแนวตั้ง คือ

\begin{matrix}
2 &  \\
1 &
\end{matrix}

จากนั้นเอาเลขหลังสุดมาแยกเป็นเลขสองตัวคูณกันในแนวตั้ง โดยยังไม่ต้องสนใจเครื่องหมายลบ แล้วเอาไปต่อจากตัวหน้าสุด

\begin{matrix}
2 &- 1 \\
1 & 3
\end{matrix}

เมื่อแยกเป็นตัวเลขสองตัวคูณกันเสร็จแล้ว เราก็จะเริ่มคูณไขว้ $2\times3$ และ $1\times1$

\begin{matrix}
&&-1\\
2&-1&\\
1&3&\\
&&6
\end{matrix}

จะเห็นผลคูณเป็นเลข $-1$ กับ $6$ เราจับตัวเลขสองตัวนี้บวกกัน จะได้ $5$ ซึ่งยังไม่เท่ากับตัวเลขตัวกลางของพหุนามนี้อยู่ดี เราจึงต้องลองสลับเครื่องหมายของคู่หลังดูก่อนจะได้

\begin{matrix}
2 &1 \\
1 & -3
\end{matrix}

ผลคูณไขว้ก็จะกลายเป็น

\begin{matrix}
&&1\\
2&1&\\
1&-3&\\
&&-6
\end{matrix}

ได้ $1$ กับ $-6$ รวมกันได้ $-5$ ยังไงก็ไม่ใช่ตัวกลาง จะเห็นว่าต่อให้สลับเครื่องหมายลบไปไว้ที่เลข -3 แล้วก็ไม่ใช่ให้ผลรวมเปลี่ยนจากเลข $5$ ไปเลย แค่กลับเป็น $-5$ แค่นั้นเอง ดังนั้นถ้าเราพบว่าถ้ารอบแรกจับบวกกันแล้วตัวเลขไม่ใช่พจน์กลาง เราจะแยกผลคูณของพจน์หลังใหม่ทันที

คราวนี้ลองเอา $3$ มาไว้บนบ้าง

\begin{matrix}
2 & -3 \\
1 & 1
\end{matrix}

คราวนี้สำหรับตัวหลังเราจะได้ เลข $-3$ อยู่บน แต่เลข $1$ อยู่ด้านล่าง จากนั้นลองคูณไขว้อีกครั้ง

\begin{matrix}
& &-3\\
2&-3&\\
1&1&\\
& &2
\end{matrix}

เมื่อนำผลคูณไขว้มาบวกกันจะได้ $-3$ กับ $2$ บวกกันได้ $-1$ แต่เลขตัวกลางเราต้องเป็น $+1$ เราจึงสลับเครื่องหมายไปไว้ที่เลข $1$ ด้านล่างแทน

\begin{matrix}
2 & 3 \\
1 & -1
\end{matrix}

ซึ่งจะได้ผลคูณไขว้

\begin{matrix}
& &3\\
2&3&\\
1&-1&\\
& &-2
\end{matrix}

เป็น $3+(-2)=1$ พอดีกับเลขตัวกลาง เราก็เอาตัวเลขชุดนี้

\begin{matrix}
2 & 3 \\
1 & -1
\end{matrix}

มาแปลงเป็นวงเล็บๆ

\begin{matrix}
2 & 3 &\longrightarrow & (2x+3)\\
1 & -1& \longrightarrow & (x-1)
\end{matrix}

ซึ่งทำให้เราแยกตัวประกอบของ $2x^2+x-3$ ได้เป็น

$$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)$$

ซึ่งจะทำให้คำตอบของสมการ $2x^2+x-3=0$ หาได้จาก $(2x+3)(x-1)=0$ คือ จับแต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์นั่นเอง

\begin{eqnarray*}
2x+3 &=& 0\\
2x &=& -3\\
x&=& \frac{-3}{2}\\
x&=& -\frac32
\end{eqnarray*}

และอีกคำตอบก็จะเป็น

\begin{eqnarray*}
x-1 &=& 0\\
x&=& 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นคำตอบของสมการพหุนาม $2x^2+x-3=0$ คือ $x=-\frac32$ และ $x=1$ นั่นเอง

เป็นไงบ้างคะ นี่แค่ตัวอย่างแรกยังยาวขนาดนี้ ตัวอย่างถัดๆ ไปพี่จะแยกให้ดูแบบที่ถูกต้องในครั้งเดียวไปเลยน๊าา เพื่อให้เราได้เห็นชัดๆ

แก้สมการ $3x^2-13x-10=0$

เริ่มจากแยก $3$ และ $-10$ เป็นเลขสองตัวคูณกัน

\begin{matrix}
& &-2 \\
3 & -2&\\
1 & 5&\\
& &15
\end{matrix}

จับผลคูณไขว้บวกกันได้ $-2+15 = 13$ ตัวเลข $13$ ใช่ แต่เครื่องหมายผิด เราจึงสลับเครื่องหมายไปไว้ด้านล่างแทน จะได้

\begin{matrix}
& &2 \\
3 & 2&\\
1 & -5&\\
& &-15
\end{matrix}

ซึ่งได้ $2+(-15)=-13$ เท่ากับ $-13$ ตรงกับตัวกลางที่เราต้องการ ดังนั้น

\begin{matrix}
3 & 2 &\longrightarrow & (3x+2)\\
1 & -5 & \longrightarrow & (x-5)
\end{matrix}

ดังนั้น

$$3x^2-13x-10 = (3x+2)(x-5)$$

จับแต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์จะได้

\begin{eqnarray*}
3x+2 &=& 0\\
3x &=& -2\\
x&=& \frac{-2}{3}\\
x&=& -\frac23
\end{eqnarray*}

และ $x=5$

ดังนั้นคำตอบของสมการ $3x^2-13x-10=0$ ที่ต้องแก้ คือ $x=-\frac23,5$ นั่นเอง

แก้สมการ $3x^2+10x-8=0$

เริ่มเหมือนเดิม เอา $3$ ตัวหน้ากับ $-8$ ตัวหลังมาแยกเป็นตัวเลข $2$ ตัวคูณกัน

\begin{matrix}
& & 4\\
3 & 4 &\\
1 & -2& \\
& & -6
\end{matrix}

นำผลคูณไขว์มาบวกกัน $4+(-6)=-2$ ซึ่งไม่ใช่เลขตัวกลางเลย เพราะตัวกลางคือ $+10$ จึงเปลี่ยนตัวเลขใหม่

\begin{matrix}
& & 1\\
3 & 1 &\\
1 & -8& \\
& & -24
\end{matrix}

ได้ $1+(-24)=-23$ ยิ่งห่างไกลจากตัวกลาง เราจึงต้องเปลี่ยนตัวเลขคู่หลังใหม่อีกครั้ง

\begin{matrix}
& & 2\\
3 & 2 &\\
1 & -4& \\
& & -12
\end{matrix}

ได้ $2+(-12) = -10$ ซึ่งได้ตัวเลขเป็น $10$ แล้ว แต่เครื่องหมายยังผิดอยู่ เราจึงสลับเครื่องหมายลบไปไว้ด้านบนแทน

\begin{matrix}
& & -2\\
3 & -2 &\\
1 & 4& \\
& & 12
\end{matrix}

ก็จะได้ $-2+12 = +10$ เท่ากับตัวเลขตัวกลางพอดี ดังนั้น

\begin{matrix}
3 & -2 & \longrightarrow & (3x-2)\\
1 & 4 & \longrightarrow & (x+4)
\end{matrix}

ดังนั้น $3x^2+10x-8=(3x-2)(x+4)$

ซึ่งจะได้คำตอบของสมการ $3x^2+10x-8=0$ เป็น $x=\frac23$ และ $x=-4$ นั่นเอง

เป็นไงกันบ้างคะ ตามทันกันมั้ยเอ่ย ถ้าใครฝึกชำนาญแล้วรับรองว่าวิธีนี้ทำได้เร็วมากๆ เลยล่ะ อย่าลืมฝึกกันเยอะๆ นะคะ บ๊าาย

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องที่ต้องการถูกทำเครื่องหมาย *