สมการกำลังสอง ตอนที่ 1 : แบบง่ายสุด

เมื่อแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองเป็น 2 วงเล็บพอไหวแล้ว น้องๆ ก็ต้องเริ่มทำความรู้จักกับ สมการกำลังสอง ซึ่งก็คือ เอาพหุนามกำลังสองจับมาเท่ากับ 0 เป็นสมการกำลังสอง เช่น

  • x² + 3x – 10 = 0,
  • x² + 11x + 30 = 0,
  • x² – 3x – 40 = 0,
  • x² – 17x + 30 = 0,
  • 9 – x² = 0

ทั้ง 5 ข้อข้างบนเป็นสมการกำลังสองทั้งหมดเลย แต่ยังไม่พอ บางครั้งอาจไม่ต้องเท่ากับศูนย์ก็เป็นสมการได้ เพราะมันสามารถย้ายข้างไปรวมไว้ทางซ้ายเหมือนเดิมได้ เช่น $x^2-3x=4 $ ก็เป็นสมการเหมือนกัน เพราะเราสามารถย้าย $4$ ไปทางซ้ายได้เป็น

$$x^2-3x-4 =0$$

ขอแค่มีเครื่องหมายเท่ากับ ก็เรียกว่าเป็นสมการได้เลยครับ

(ใครยังไม่เริ่มอ่านการแยกตัวประกอบเป็น 2 วงเล็บ แนะนำให้เริ่มไปอ่านตั้งแต่ตอนแรกก่อนนะครับ)

คราวนี้มีสมการ ก็ต้องมีสิ่งที่เรียกว่าคำตอบของสมการ ซึ่งโจทย์สมการกำลังสองส่วนใหญ่ที่น้องๆ จะได้เจอจะมี $2$ คำตอบ แต่ก็มีบ้างที่อาจจะไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบเดียวหรือคำตอบซ้ำกัน แต่สำหรับตอนนี้ยังไม่ต้องกังวลเรื่องกรณีที่ไม่มีคำตอบกับกรณีที่มีคำตอบเดียวก่อนครับ มาดูโจทย์สมการกำลังสองธรรมดาๆ ที่มี $2$ คำตอบกันก่อน

คำตอบของสมการ คือ ตัวเลขที่แทนค่าลงในตัวแปรนั้นแล้วเป็นจริง เช่น $2$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2+3x-10 = 0 $ เพราะเอา $2$ แทนค่าลงไปที่ $x$ แล้วเป็นจริง มาลองดูนะครับ

\begin{eqnarray*}
(2)^2 + 3(2)-10 &=& (4) + (6) -10\\
&=& 10-10\\
&=& 0
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าได้เท่ากับ $0$ จริง

เราจะหาคำตอบของสมการกำลังสองได้ยังไง?

อยู่ๆ เราคงไม่นึกตัวเลขมั่วๆ ขึ้นมาแล้วแทนค่าตัวเลขเข้าไปในสมการเพื่อดูว่าเท่ากับศูนย์จริงรึเปล่าหรอกครับ แต่วิธีหาคำตอบของสมการกำลังสอง คือ การแยกตัวประกอบเป็น $2$ วงเล็บแบบที่เราเรียนมาแล้วเลยครับ เช่น $x^2+3x-10$ ถ้าแยกตัวประกอบเป็น $2$ วงเล็บ จะได้ $(x+5)(x-2)$ เวลาเราแสดงวิธีทำ เราก็เขียนแบบนี้ครับ เริ่มจากที่โจทย์ให้มา

\begin{eqnarray*}
x^2+3x-10 &=& 0\\
(x+5)(x-2) &=& 0\\
\end{eqnarray*}

คราวนี้พอแยกเป็น $2$ วงเล็บเสร็จแล้ว ถ้าอยากรู้ว่าคำตอบคืออะไร ก็เอาแต่ละวงเล็บมาจับเท่ากับศูนย์อีกที ก็จะได้คำตอบว่า $x$ มีค่าเท่ากับเท่าไหร่ได้บ้าง อย่างเช่นข้างบนก็จะได้

\begin{eqnarray*}
(x+5) &=& 0\\
x+5 &=& 0\\
x &=& -5
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=-5$ หรือ $-5$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ $x^2+3x-10=0$

และทำนองเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
(x-2) &=& 0\\
x-2 &=& 0\\
x &=& 2
\end{eqnarray*}
ดังนั้น $x=2$ หรือ $2$ ก็เป็นอีกคำตอบหนึ่งของสมการ $x^2+3x-10=0$

เวลาเราจะตอบก็ตอบไปทั้ง $2$ คำตอบเลยว่า “$-5$ กับ $2$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2+3x-10=0$”

แต่เอาจริงนะ ตั้งแต่พี่สอนเลข ม.ต้น มา ยังไม่เคยเห็นใครนั่งจับเอา $x+5=0$ หรือ $x-2=0$ มานั่งแก้สมการอีกรอบเลย แต่น้องๆ ส่วนใหญ่ใช้วิธีกลับเครื่องหมายจากตัวเลขในวงเล็บมาเลย เช่น $(x+5)(x-2)$ ถ้ากลับเครื่องหมาย $+5$ ก็จะได้ $-5$ และถ้ากลับเครื่องหมาย $-2$ ก็จะได้ $2$ ดังนั้น $-5$ กับ $2$ เป็นคำตอบง่ายๆ แบบนี้เลย

แต่ก็ต้องระวังว่าวิธีการกลับเครื่องหมายแบบนี้ ใช้ได้เฉพาะกรณีที่หน้า $x$ ของเราในวงเล็บเป็นบวกนะ ถ้าเป็นลบก็จะทำแบบนี้ไม่ได้อีกอยู่ดี

โจทย์ข้อที่ 1 แก้สมการกำลังสอง $x^2+11x+30=0$

เริ่มต้นจากการตั้งป้อมก่อนเลยครับ

\begin{eqnarray*}
x^2+11x+30 &=&0\\
(x\underline{\qquad})(x\underline{\qquad}) &=&0
\end{eqnarray*}

จากนั้นก็ดูตัวหลังว่าเป็น $30$ ซึ่งเป็นบวก เลยใช้สูตรหาเลขสองตัว คูณกันได้ $30$ และบวกกันได้ $11$ ลองดูว่าอะไรบ้างคูณกันได้ $30$ ปรากฎว่าเป็น $5$ กับ $6$ ครับ

  • $5\times6 = 30$ จับบวกกันได้ $5+6 = 11$ พอดีเลย เราก็เติม $5$ และ $6$ ลงไปในป้อมครับ

\begin{eqnarray*}
(x\underline{\quad+5})(x\underline{\quad+6}) &=&0\\
(x+5)(x+6) &=&0
\end{eqnarray*}

กลับเครื่องหมายทั้งสองตัว จะได้ $x=-5,-6$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2+11x+30=0$ นั่นเอง เสร็จแล้ว ทำเพิ่มจากการแยกตัวประกอบนิดเดียวครับ

โจทย์ข้อ 2 แก้สมการกำลังสอง $x^2-18x+80=0$

เริ่มต้นเหมือนเดิมเลยครับ ตั้งป้อมรอไว้ก่อน

\begin{eqnarray*}
x^2-18x+80 &=& 0\\
(x\underline{\qquad})(x\underline{\qquad}) &=&0
\end{eqnarray*}

จากนั้นดูตัวหลังซึ่งเป็นบวก $80$ ดังนั้นเราต้องหาตัวเลขสองตัว คูณกันได้ $80$ และบวกกันได้ $-18$ บวกกันได้ติดลบ แปลว่าต้องเป็นจำนวนลบทั้งคู่ เราก็ลองหาตัวเลขที่คูณกันได้ $80$ ตามนี้ครับ

  • $-1\times(-80) = 80$ แต่บวกกันได้น้อยเกินไป
  • $-2\times(-40) = 80$ ยังบวกกันแล้วได้น้อยเกิ๊น
  • $-4\times(-20) = 80$ บวกกันได้ $-4+(-20) = -24$ ยังน้อยกว่า $-18$ ครับ
  • $-8\times(-10) = 80$ บวกกันได้ $-8+(-10) = -18$ เท่ากับ $-18$ พอดี เราก็เลยเติมเลข $-8$ กับ $-10$ ลงไปในป้อม

$$(x\underline{\quad-8})(x\underline{\quad-10})=0$$

จากนั้นกลับเครื่องหมายจะได้ $x=8$ และ $x=10$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-18x+80=0$

โจทย์ข้อ 3 แก้สมการกำลังสอง หน้าติดลบ $35+2x-x^2=0$

ข้อนี้มีความซับซ้อนอยู่อย่างนึงครับ คือตัวหน้าไม่ได้อยู่ด้านหน้า และที่สำคัญตัวหน้าติดลบ เราก็ทำเหมือนเดิมได้เลย คือ ดึงลบออกมานอกวงเล็บ เสร็จแล้วก็ตั้งป้อมรอเหมือนเดิม (อย่าลืมข้อนี้จะมีลบหน้าป้อมด้วยนะ)

\begin{eqnarray*}
35+2x-x^2 &=& 0 \\
-(-35-2x+x^2) &=& 0\\
-(x^2-2x-35) &=& 0\\
-(x\underline{\qquad})(x\underline{\qquad}) &=&0
\end{eqnarray*}

คราวนี้เราก็แยกตัวประกอบ $x^2-2x-35$ แล้วเอาไปใส่ในป้อมได้เลย เริ่มจากดูตัวหลังเป็นลบ ดังนั้นเราหาตัวเลขสองตัวคูณกันได้ $35$ ลบกันได้ $-2$ เริ่มเล้ยยย

  • $7\times 5 =35$ ลบกันได้ $7-5 = 2$ แต่เอ๊ะเราอยากได้ติดลบนี่นา ลืมไป งั้นสลับ $7$ กับ $5$ ก็ได้
  • $5\times 7 = 35$ ลบกันได้ $5-7 = -2$ พอดีเลย เราก็เลยเติมเลข $5$ กับ $-7$ ลงในป้อม

$$-(x\underline{\quad+5})(x\underline{\quad-7})=0$$

คราวนี้เราไม่ต้องกลัวเครื่องหมายลบ $-$ ที่อยู่หน้าป้อมเลย เราสามารถเอา $-1$ คูณตลอดทั้งสมการเพื่อให้เครื่องหมายลบทางซ้ายหายไปและสมการยังคงเป็นจริง ซึ่งก็จะได้

\begin{eqnarray*}
-(x+5)(x-7) &=& 0\\
(-1)\left(-(x+5)(x-7)\right) &=& (-1)\times 0\\
(x+5)(x-7) &=& 0
\end{eqnarray*}

และในวงเล็บก็ไม่ได้มีอะไรเปลี่ยนแปลงไปเลย คำตอบก็ยังคงเป็น $-5$ กับ $7$ เหมือนเดิม ดังนั้นข้อนี้ตอบ $x=-5,7$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-2x-35=0$

สรุป

เนื้อหาตอนนี้เยอะหน่อย แต่ต่อยอดมาจากการแยกตัวประกอบเป็น $2$ วงเล็บ ถ้าความรู้เก่ายังมี เรื่องนี้ก็จะไม่ยากไปด้วยครับ ลองมาดูครับว่าตอนนี้เราเรียนรู้อะไรไปบ้าง

  1. สมการกำลังสอง เกิดจากการ จับสมการกำลังสองมาเท่ากับศูนย์ หรืออาจจะย้ายข้างนิดหน่อยแล้วทางขวาเป็นศูนย์ก็ได้
  2. คำตอบของสมการ คือ ตัวเลขที่แทนที่ลงไปในตัวแปรแล้วทำให้สมการเป็นจริง หรือทั้งสองข้างของสมการเท่ากันจริงๆ
  3. การแก้สมการกำลังสอง ใช้วิธีแยกเป็น $2$ วงเล็บ แล้วกลับเครื่องหมายตัวเลขที่อยู่ในวงเล็บได้เลย
  4. ข้อ 3. ยกเว้นกรณีที่หน้า $x$ ในวงเล็บติดลบหรือเป็นตัวเลขอื่น ต้องมีการจับไปเท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการอีกที
  5. บางครั้งมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าป้อม หรือหน้าวงเล็บในสมการ ก็ไม่ต้องไปสนใจ เราสนใจแค่กลับเครื่องหมายตัวเลขในวงเล็บก็พอครับ

ใครเข้าใจเรื่องนี้ได้ ถือว่าเริ่มเก่งขึ้นอีกขั้นแล้วครับ อยากเก่งคณิตต้องฟิตทำโจทย์เยอะๆ นะครับ

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องที่ต้องการถูกทำเครื่องหมาย *