การแยกตัวประกอบเป็น 2 วงเล็บ ตอนที่ 1 : แบบง่ายสุด

พูดถึงพหุนามกำลังสอง เช่น x²+5x+6 สิ่งที่เรามักต้องทำ คือ แยกตัวประกอบเป็น 2 วงเล็บคูณกันแบบนี้  x²+5x+6 = (x+2)(x+3) แต่ก่อนที่จะไปดูเทคนิคการแยกตัวประกอบเป็น 2 วงเล็บ เรามาทำความรู้จักวิธีเรียกชื่อตำแหน่งของตัวเลขในพหุนามกันก่อนครับ เพื่อจะได้เข้าใจตรงกัน

การเรียกตัวเลขในพหุนาม

ถ้าพูดถึงพหุนามนี้

$$3x^2-7x+9$$

  • เราเรียก $3$ (เลขข้างหน้า $x^2$) ว่าเลขตัวหน้า
  • เรียก $-7$ (เลขข้างหน้า $x$ ) เรียกสั้นๆ ว่า ตัวกลาง
  • และเรียก $9$ สั้นๆ ว่า ตัวหลัง

ข้อสังเกต เห็น $-7$ มั้ย เราเอาเครื่องหมายลบมาด้วยนะครับ

มาลองดูกันอีกสักตัวอย่างนะครับ

$$x^2+5x+6$$

  • มีตัวหน้าเป็น $1$ เพราะหน้า $x^2$ เป็นเลข $1$ (แม้ดูเหมือนไม่มีเลขอะไรอยู่หน้า $x^2$ แต่เราถือเป็น $1$ นะครับ)
  • มีตัวกลางเป็น $5$ เพราะหน้า $x$ เป็นเลข $5$
  • มีตัวหลังเป็น $9$

อีกตัวอย่างครับ

$$x^-8$$

  • มีตัวหน้าเป็น $1$
  • ตัวกลางเป็น $0$ (เพราะไม่มีพจน์ $x$ เลย พหุนามนี้ถ้าเขียนให้ครบจะเป็น $x^2+0x-8$ ครับ)
  • มีตัวหลังเป็น $-8$

แล้วถ้าเป็นตัวอย่างนี้ล่ะ

$$9-x^2-8x$$

  • ตัวหน้าไม่เท่ากับ $9$ นะ!
  • ตัวกลางไม่เท่ากับ $-1$
  • ตัวหลังไม่เท่ากับ $-8$

แบบนี้อย่าเพิ่งรีบทำนะครับ ให้เรียงลำดับพหุนามใหม่เสียก่อน เพื่อให้เรียกจากกำลังของ $x$ สูงสุดอยู่หน้าและค่อยๆ ลดลงไปครับ เรียงใหม่ที่ถูกต้องก็จะเป็น

$$-x^2-8x+9$$

จากนั้นก็ทำเหมือนเดิมละครับ

  • ตัวหน้าเป็น $-1$
  • ตัวกลางเป็น $-8$
  • ตัวหลังเป็น $9$

เอาล่ะครับ พอรู้จักว่าเลขตัวไหนเรียกว่าอะไรกันแล้ว ก็มาลองดูเทคนิคการแยกตัวประกอบเป็น $2$ วงเล็บ ที่ง่ายที่สุดกันครับ

โจทย์ข้อที่ 1 แยกตัวประกอบ $x^2+5x+6$

วิธีแยก $x^2+5x+6$ เป็น $2$ วงเล็บ ทำได้ง่ายๆ คือ ตั้งป้อมไว้ก่อนเลยว่าเราจะแยกให้ได้แบบนี้

$$(x+\underline{\qquad})(x+\underline{\qquad})$$

หาเลข $2$ ตัวที่ คูณกันได้ตัวหลังและบวกกันได้ตัวกลาง ในที่นี้ คือ หาเลขสองตัวที่คูณกันได้ $6$ และบวกกันได้ $5$ ซึ่งข้อนี้ง่ายมากเลขสองตัวนั้นคือ $2$ กับ $3$ ไง (ลองคูณดูจิ $2\times3=6$ และ $2+3=5$ จริงๆ) เราก็เอาตัวเลข $2$ กับ $3$ เติมลงไปในช่องว่าง

$$(x+\underline{\quad2\quad})(x+\underline{\quad3\quad})$$

ดังนั้น $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$

เสร็จแล้ว! ง่ายใช่มั้ยล่ะ  ถ้าจะให้ชัวร์ก็ลองเช็คว่าเราแยกถูกมั้ยโดยการคูณกระจายเข้าไป ลองดูนะ

$$\begin{eqnarray*}
(x+2)(x+3) &=& (x+2)x \qquad + \qquad (x+2)3 \\
&=& (x)(x)+(2)(x) \qquad + \qquad (x)(3) + (2)(3) \\
&=& x^2 + 2x \qquad + \qquad 3x+6 \\
&=& x^2 +(2x+3x)+6\\
&=& x^2 + 5x+6
\end{eqnarray*}$$

โจทย์ข้อที่ 2 แยกตัวประกอบ $x^2+7x+6$

มาลองดูอีกตัวอย่างนะ $x^2+7x+6$ เริ่มต้นตั้งป้อมก่อนนนน

$$(x+\underline{\qquad})(x+\underline{\qquad})$$

แล้วก็ใช้สูตรเดิม หาอะไรคูณกันได้ตัวหลังและบวกกันได้ตัวกลาง

เลขอะไรหว่าคูณกันได้ $6$ บวกกันได้ $7$ ?

ปรกติ $6$ มันแยกตัวประกอบได้เป็น $2\times3$ นี่นา แล้วจะแยกเป็นอะไรได้อีก แต่ๆๆๆ $6$ เองก็เกิดจาก $1\times6$ ได้นี่ แถม $1+6=7$ เป๊ะเลย งั้นเราก็เอา $1$ กับ $6$ ไปเติมเลย

$$(x+\underline{\quad1\quad})(x+\underline{\quad6\quad})$$

เสร็จอีกข้อนึงแล้ววววว เราก็จะได้ $x^2+7x+6 = (x+1)(x+6)$

โจทย์ข้อที่ 3 แยกตัวประกอบ $x^2+13x+36$

ลองดูอีกสักข้อครับ เหมือนเดิมเลย ตั้งป้อมรอไว้ว่าเราอยากได้แบบนี้

$$(x+\underline{\qquad})(x+\underline{\qquad})$$

แล้วก็ใช้สูตรหาเลขสองตัวที่คูณกันได้ตัวหลังและบวกกันได้ตัวกลาง นั่นคือ หาเลขสองตัวที่คูณกันได้ $36$ และบวกกันได้ $13$ มีอะไรบ้าง เรามาลองลิสต์ดูครับ

  • $6\times6 = 36$ แต่ $6+6=12$ ไม่ใช่ $13
  • $1\times36 = 36$ แต่ $1+36=37$ ก็ไม่ใช่ $13$
  • $4\times9= 36$ และ $4+9 = 13$ พอดีเลย

เราก็เอา $4$ กับ $9$ ไปเติมในป้อมที่เราตั้งไว้

$$(x+\underline{\quad4\quad})(x+\underline{\quad9\quad})$$

บางคนอาจจะสงสัยว่า “เอ๊ะ! แล้วถ้าคิดไม่ได้ $4\times9=36$ แต่สลับกันเป็น $9\times4=36$ จะได้มั้ย” คำตอบ คือ ได้ครับ มันเหมือนกัน เราก็จะตอบว่า $x^2+13x+36 = (x+9)(x+4)$ ได้เหมือนกัน ซึ่ง $(x+4)(x+9)$ ก็มีค่าเท่ากันกับ $(x+9)(x+4)$ นั่นแหล่ะครับ แค่สลับที่การคูณกันเฉยๆ

โจทย์ข้อที่ 4 แยกตัวประกอบ $x^2+ 11x+30$

เริ่มเลยแล้วกันนะครับ ตั้งป้อมครับ

$$(x+\underline{\qquad})(x+\underline{\qquad})$$

แล้วหาเลขสองตัวคูณกันได้ $30$ และบวกกันได้ $11$

  • $1\times30 = 30$ แต่บวกกันเกิน $11$ แน่ๆ
  • $2\times 15= 30$ แต่บวกกันก็ยังเกิน $11$ แน่ๆ
  • $3\times10 = 30$ บวกกันได้ $3+10=13$ เกิน $11$ อยู่ดี
  • $5\times6 = 30$ บวกกันได้ $5+6 = 11$ พอดีเล้ย ! เอาไปเติมในป้อมเลยครับ

$$(x+\underline{\quad5\quad})(x+\underline{\quad6\quad})$$

ดังนั้น $x^2+11x+30 = (x+5)(x+6)$ หรือใครจะตอบ $x^2+11x+30=(x+6)(x+5)$ ก็ไม่ผิดคร๊าาาบ

สรุป

เป็นไงบ้างครับ? ง่ายเว่อร์เลยใช่ปะ มันยังง่ายอยู่เพราะโจทย์ที่เราทำยังไม่ซับซ้อนครับ  แต่ใครเข้าใจแล้วก็ถือว่าเริ่มเก่งแล้วครับ ถ้าอยากเก่งจริงจังก็ไปฝึกแยกตัวประกอบกันต่อได้นะ พี่เตรียม โจทย์แยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บแนวนี้ ไว้ให้แล้วครับ อย่าลืมไปฝึกกันนะครับ

ก่อนจบมาท่องกันหน่อยมั้ย “คูณกันได้ตัวหลังและบวกกันได้ตัวกลาง” ง่ายๆ แค่นี้เอง

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องที่ต้องการถูกทำเครื่องหมาย *