อัตราส่วนพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สูงเท่ากัน

เคยเจอมั้ยโจทย์ให้พื้นที่สามเหลี่ยมรูปเล็กที่แรเงามา แล้วถามพื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปใหญ่

พี่บอกได้เลยค่ะว่า โจทย์แบบนี้เราเจอเฉพาะในข้อสอบแข่งขัน หรือข้อสอบเข้า รร.เตรียมอุดมฯ รร.มหิดลวิทย์ฯ รร.จุฬาภรณ์ฯ เท่านั้น ในข้อสอบ O-NET ไม่เคยออก ถ้าอยากรู้อยากเก่ง อยากทำได้ มาดูกันเลยค่ะว่าจะทำโจทย์แบบนี้ได้ ต้องรู้อะไรก่อนบ้าง

พื้นที่สามเหลี่ยมที่มีส่วนสูงเท่ากัน จะมีอัตราส่วนของพื้นที่เท่ากับอัตราส่วนของฐาน

จากรูปจะได้พื้นที่รูปซ้าย ต่อ พื้นที่รูปขวาเท่ากับ

\begin{eqnarray*}
&=& \frac12ah : \frac12bh\\
&=& a:b
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่า

พื้นที่ $\triangle$ รูปซ้าย : พื้นที่ $\triangle$ รูปขวา = ความยาวฐานรูปซ้าย : ความยาวฐานรูปขวา

 

ตัวอย่าง

$\triangle ABC$ มีจุด $D$ อยู่บนด้าน $BC$ ซึ่งทำให้อัตราส่วน $BD:DC=2:3$  ถ้าพื้นที่ของ $\triangle ABC$ เท่ากับ $18$ ตารางหน่วย จงหาพื้นที่ของ $\triangle ADC$

วิธีทำ วาดรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปขึ้นมาก่อน

จะเห็นว่า $\triangle ABD$ และ $\triangle ADC$ มีส่วนสูงร่วมกัน (สูงเท่ากัน) ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{\text{พื้นที่ }\triangle ABD}{\text{พื้นที่ }\triangle ADC} &=& \frac{BD}{DC}\\
&=& \frac23
\end{eqnarray*}

แทนค่าพื้นที่ $\triangle ABD = 18$ ลงไป จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{(18)}{\text{พื้นที่ }\triangle ADC} &=& \frac{BD}{DC}\\
18×\frac{3}{2} &=& \text{พื้นที่ }\triangle ADC\\
27\text{ ตาราหน่วย} &=& \text{พื้นที่ }\triangle ADC
\end{eqnarray*}

ตอบ $27$

ตัวอย่าง

จากรูป $AD=DE, FE=EC$ และ $BF=FD$ ถ้าพื้นที่ของรูป $\triangle DEF$ เท่ากับ $1$ จงหาพื้นที่ของ $\triangle ABC$

วิธีทำ เริ่มจากลากเส้นตรง $BE$ จะได้พื้นที่ของ $\triangle BFE$ เท่ากับ $1$ เช่นเดียวกับ $\triangle DEF$ เพราะมีส่วนสูงร่วมกัน เมื่อเอาพื้นที่รวมกันจะได้ $\triangle BDE$ มีพื้นที่เป็น $2$

ทำนองเดียวกันรูปสามเหลี่ยม $\triangle ABD$ ก็จะมีพื้นที่เป็น $2$ ด้วยโดยมองด้าน $AD$ และ $DE$ เป็นฐานซึ่งมีส่วนสูงเท่ากันกับ $\triangle BDE$

เมื่อเทียบ $\triangle BFE$ กับ $\triangle BEC$ ก็จะมีพื้นที่เท่ากันด้วย จึงทำให้ทราบว่าแต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับ $1$

ถ้าหากเราลากเส้นตรง $DC$ ก็จะได้พื้นที่ของ $\triangle CDE = 1$ และพื้นที่ของ $\triangle ACD$ เท่ากับ $1$ ในทำนองเดียวกัน

เมื่อนำพื้นที่ของสามเหลี่ยมทุกรูปมารวมกัน จะได้พื้นที่ของ $\triangle ABC$ เท่ากับ

$$1+1+1+1+1+1+1 = 7$$

ตอบ $7$ ตารางหน่วย

1. $\triangle ABC$ มีพื้นที่ $30$ ตารางหน่วย ถ้าลากเส้นจากจุด $B$ มาแบ่งครึ่งฐานที่จุด $M$ จงหาพื้นที่ของ $\triangle ABM$

 
 
 
 

2. $\triangle ABC$ มีพื้นที่ $93$ ตารางหน่วย จุด $D$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ซึ่งทำให้พื้นที่ $\triangle ABD$ เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ $\triangle ADC$ จงหาอัตราส่วนความยาวด้าน $BD:BC$

 
 
 
 

3. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ และต่อด้าน $BC$ ไปทางจุด $C$ โดยมีจุด $D$ เป็นจุดปลาย

ถ้าอัตราส่วนความยาวด้าน $BC:CD=7:3$ และพื้นที่ $\triangle ACD$ เท่ากับ $33$ ตารางหน่วย จงหาพื้นที่ของ $\triangle ABC$

 
 
 
 

4. สามเหลี่ยม $ABC$ มีจุด $C,D$ เป็นจุดบนด้าน $BE$ ที่ทำให้ $BC:CD:DE=3:2:1$ ถ้าลากเส้น $AC$ และ $AD$

แล้วอัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปกลาง ต่อ ส่วนที่เหลือจะเป็นเท่าใด

 
 
 
 

5. จากรูป $AX:XY=2:1$, $XZ:ZC = 1:3$ และ $BY:YZ=3:2$ ถ้า $\triangle ABC$ มีพื้นที่ $210$ ตารางหน่วย จงหาพื้นที่ของ $\triangle XYZ$ และ $\triangle BZC$

 
 
 
 

6. ต่อด้าน $BC$ ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ออกไปทางจุด $C$ ที่จุด $D$ ลากเส้นตรงจากจุด $D$ ไปยังจุด $E$ บนด้าน $AB$ โดยตัดกับ $AC$ ที่จุด $M$ โดยที่ $EM:ED=1:4$ และ $AM=MC$ ถ้าสามเหลี่ยม $\triangle CDM$ มีพื้นที่ $18$ ตารางหน่วย จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $\triangle AEM$

(hint: หาพื้นที่ $\triangle ADM$ ก่อน)

 
 
 
 

7. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน $AB$ และจุด $N$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ซึ่งแบ่ง $BN:NC=2:5$ ให้ $X$ เป็นจุดตัดของ $AN$ และ $CM$ ถ้า $NX:XA=5:7$, $MX:XC=1:5$ และสามเหลี่ยม $\triangle ABC$ มีพื้นที่ $84$ ตารางหน่วยแล้ว จงหา พื้นที่ของสี่เหลี่ยม $BMXN$

 
 
 
 

ใส่ความเห็น

อีเมลของคุณจะไม่แสดงให้คนอื่นเห็น ช่องที่ต้องการถูกทำเครื่องหมาย *